Задание ЕГЭ
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. Сколько миллионов рублей составит общая сумма выплат после погашения кредита?Решение
Решение:
S = 5 млн. рублей, сумма взятого кредита;
% = 16% = 0,16;
\frac{1}{10}S – ежегодное снижение долга;
Сумма выплат – ? тыс. рублей.
| Год | Долг начальный (июль) | % (январь) | Платёж (\frac{1}{10}S + %) (февраль – июнь) | Долг конечный (долг начальный + % – платёж) (июль) |
| 0 | S | – | – | – |
| 1 | S | 0,16·S | \frac{1}{10}S+0,16·S | \frac{9}{10}S |
| 2 | \frac{9}{10}S | 0,16·\frac{9}{10}S | \frac{1}{10}S+0,16·\frac{9}{10}S | \frac{8}{10}S |
| 3 | \frac{8}{10}S | 0,16·\frac{8}{10}S | \frac{1}{10}S+0,16·\frac{8}{10}S | \frac{7}{10}S |
| … | … | … | … | … |
| 10 | \frac{1}{10}S | 0,16·\frac{1}{10}S | \frac{1}{10}S+0,16·\frac{1}{10}S | 0 |
Складываем все платежи и упрощаем выражение:
\frac{1}{10}S+0,16·S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{9}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{8}{10}S+…+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{1}{10}S
Сложив все \frac{S}{10} получим ровно S. А у % вынесем общий множитель:
S+ 0,16\cdot S\cdot (1+\frac{9}{10}+\frac{8}{10}+…+\frac{1}{10})=S+ 0,16\cdot S\cdot (\frac{10+9+8+…+1}{10})=S+ 0,16\cdot S\cdot \frac{55}{10}=S+0,16\cdot S\cdot 5,5=S+0,88\cdot S=1,88S
Подставим сумму взятого кредита:
1,88·S = 1,88·5 млн. рублей = 9,4 млн. рублей
Ответ: 9,4 млн. рублей