В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.

Задание ЕГЭ

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение

Решение:

    Параллелограмм АВСD делится диагональю АС на два равных треугольника. ΔАВС = ΔАDС, S_ABCD = 2·S_ABC
    Площадь треугольника можно найти по двум формулам:

S_{\Delta}=\frac{1}{2}ah=\frac{a+b+c}{2}\cdot r

    ОК = 7 – будет являться радиусом окружности и высотой к стороне АС, построим ещё два радиуса ОР и OL, которые будут являться высотами к BC  и AB.
    Отрезки ОР и ОН будут лежать на одной прямой НР (т.к. BC||AD, OP⊥BC, OH⊥AD), которая является высотой параллелограмма АВСD и высотой треугольника АВС к стороне ВС.
    Найдём высоту НР:

НР = ОР + ОН = 7 + 13 = 20

    Тогда площадь треугольника АВС по первой формуле равна:

    По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника найдём АК:

АК² = АО² – ОК²
АК² = 25² – 7² = 576
АК = √576 = 24

    Если окружность вписана в треугольник, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны:

АК = AL = 24
BL = BP = x
CP = CK = y

    Отсюда стороны треугольника АВС равны:

АС = 24 + y
AB = 24 + x
BC = x + y

    Площадь треугольника по второй формуле равна:

S_{\Delta}=\frac{a+b+c}{2}\cdot r

    Приравняем оба выражения для нахождения площади:

10·ВС = (24 + ВС)·7
10·ВС = 7·24 + 7ВС
10·ВС – 7·ВС = 7·24
3·ВС = 7·24   |:3
ВС = 7·8 = 56

    Найдём площадь параллелограмма АВСD:

S_ABCD = 2·S_ABC = 2·10·BC = 20·56 = 1120

Ответ: 1120.