В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС. Точка O является центром окружности …

Задание ЕГЭ

В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки O до точки А и прямых АD и АС соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Решение

Решение:

В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС. Точка O является центром окружности ...

    Параллелограмм АВСD делится диагональю АС на два равных треугольника. ΔАВС = ΔАDС, SABCD = 2·SABC
    Площадь треугольника можно найти по двум формулам:

S_{\Delta }=\frac{1}{2}ah=\frac{a+b+c}{2}\cdot R

    ОК = 7 – будет являться радиусом окружности и высотой к стороне АС, построим ещё два радиуса ОР и OL, которые будут являться высотами к BC  и AB.
    Отрезки ОР и ОН будут лежать на одной прямой НР (т.к. BC||AD, OP⊥BC, OH⊥AD), которая является высотой параллелограмма АВСD и высотой треугольника АВС к стороне ВС.
    Найдём высоту НР:

НР = ОР + ОН = 7 + 15 = 22

    Тогда площадь треугольника АВС по первой формуле равна:

S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot 22=11\cdot BC

    По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника найдём АК:

АК2 = АО2 – ОК2
АК2 = 252 – 72 = 576
АК = √576 = 24

    Если окружность вписана в треугольник, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны:

АК = AL = 24
BL = BP = x
CP = CK = y

    Отсюда стороны треугольника АВС равны:

АС = 24 + y
AB = 24 + x
BC = x + y

    Площадь треугольника по второй формуле равна:

S_{\Delta}=p\cdot R\\S_{ABC}=\frac{AC+AB+BC}{2}\cdot OK=\frac{24+y+24+x+x+y}{2}\cdot 7=\frac{2\cdot (24+x+y)}{2}\cdot 7=(24+x+y)\cdot 7=(24+BC)\cdot 7

    Приравняем оба выражения для нахождения площади:

11BC=(24+BC)\cdot 7\\11BC=7\cdot 24+7BC\\11BC-7BC=7\cdot 24\\4BC=7\cdot 24 {\color{Blue} |: 4}\\BC=7\cdot 6\\BC=42

    Найдём площадь параллелограмма АВСD:

SABCD = 2·SABC = 2·11·BC = 22·42 = 924

Ответ: 924.

Твоя школа