В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 37 …

Задание ЕГЭ

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 37, сторона основания равна 35√2. Найдите объём пирамиды.

Решение

Решение:

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD в основании лежит квадрат со сторонами 35√2.

    В прямоугольном ΔАВС, по теореме Пифагора, найдём диагональ АС квадрата:

АС² = АВ² + ВС²
АС² = (35√2)² + (35√2)²
АС² = 2450 + 2450
АС² = 4900
АС = √4900 = 70

    Высота пирамиды опускается в точку пересечения диагоналей квадрата. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, найдём ОС:

ОС = АС/2 = 70/2 = 35

    В прямоугольном ΔSOC, по теореме Пифагора, найдём SO:

SC² = SO² + OC²
37² = SO² + 35²
1369 = SO² + 1225
SO² = 1369 – 1225
SO² = 144
SO = √144 = 12

    Найдём объём пирамиды SABCD:

V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{осн}h=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot (AB)^{2}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot (35\sqrt{2})^{2}\cdot 12=4\cdot 2450=9800

Ответ: 9800.