В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12.

Задание ЕГЭ

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка К – середина бокового ребра SD. Плоскость АКВ пересекает боковое ребро SC в точке Р.

Решение

Решение:

а) В основании правильной пирамиды лежит квадрат, тогда АВ||DC ⇒ AB|| плоскости SDC (признак параллельности прямой и плоскости).
    Точка K∈ плоскости АКВ, которая пересекает плоскость SDC по прямой KP, тогда KP||AB ⇒ KP||DC ⇒ KP – средняя линяя ΔSDC (по теореме Фалеса).
    ΔSDC подобен ΔSKP, т.к. ∠S – общий, \frac{SK}{SD}=\frac{KP}{DC}=\frac{1}{2}. Коэффициент подобия равен k = \frac{1}{2}.
    Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:

\frac{S_{\Delta SKP}}{S_{\Delta SDC}}=k^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}

    Отсюда:

S_{\Delta SKP}=\frac{1}{4}\cdot S_{\Delta SDC}

    Тогда:

S_CDKP = S_ΔSDC – S_ΔSKP = S_ΔSDC – \frac{1}{4}S_{\Delta SDC} = \frac{3}{4}·S_ΔSDC

    Что и требовалось доказать.

б) Искомая пирамида ACDKP и пирамида АSDC имеют одну и туже высоту АО.

V_ASDC = V_SADC (одна и таже пирамида)
V_SADC = \frac{1}{3}SH·S_ADC = \frac{1}{3}·12·\frac{1}{2}·AD·DC = \frac{1}{3}·12·\frac{1}{2}·10·10 = \frac{1}{3}·12·50 = 200

    Пирамиды ACDKP и АSDC отличаются только основаниями:

S_CDKP = \frac{3}{4}·S_ΔSDC

    Тогда:

V_ACDKP = \frac{3}{4}·V_SADC = \frac{3}{4}·200 = 150

Ответ: 150.