В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.

Задание ЕГЭ

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками A и E1.

Решение

Решение:

    Рассмотрим прямоугольный ΔАE₁E, в нём катет EE₁ = 1, как ребро призмы, катет АE найдём из основания призмы – правильного шестиугольника:

    Рассмотрим прямоугольный ΔАE₁E, в нём катет EE₁ = 1, как ребро призмы, катет АE найдём из основания призмы – правильного шестиугольника:

    Если вокруг шестиугольника описать окружность и из её центра провести радиусы к вершинам шестиугольника, получим равносторонние треугольники со сторонами 1 и углами равными 60º.
    Рассмотрим ΔАОE в нём стороны АО = ОE = 1, а ∠АОE = 60º + 60º = 120º. По теореме косинусов найдём сторону АE:

АE² = АО² + ОE² – 2·АО·ОE·сos∠АОС
АE² = 1² + 1² – 2·1·1·сos120º
АE² = 2 – 2·(–½)
АE² = 2 + 1
АE² = 3
AE = √3

    В прямоугольном ΔAE₁E, по теореме Пифагора, найдём AE₁:

AE₁² = EE₁² + AE²
AE₁² = 1² + √3²
AE₁² = 1 + 3
AE₁² = 4
AE₁ = √4 = 2

Ответ: 2.