В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС = CN:BN = 2:1.

Задание ЕГЭ

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM:МС = CN:BN = 2:1. Точка К – середина ребра A1C1.

Решение

Решение:

а) Доказать: В₁ ∈ плоскость MNK.
    По условию, призма треугольная и правильная, значит в основании равносторонний треугольник, все стороны равны, и все углы равны по 60°. Так же по условию AM:МС = CN:BN = 2:1, обозначим:

AM = CN = 2х
МС = BN = х
AC = AB = BC = 2x + x = 3x

    Спроецируем точку К на прямую АС, тогда К → К₁, К₁ является серединой АС, АК₁ = К₁С. Проведём ВК₁:

    Спроецируем точку К на прямую АС, тогда К → К₁, К₁ является серединой АС, АК₁ = К₁С. Проведём ВК₁:

    Рассмотрим ΔАВС:

    В нём найдём К₁С и К₁М:

АК₁ = К₁С = \frac{AC}{2} = \frac{3x}{2}
К₁М = К₁С – МС = \frac{3x}{2} – х = \frac{x}{2}

    Заметим:

\frac{CN}{NB}=\frac{CM}{MK_{1}}\\\frac{2x}{x}=\frac{x}{\frac{x}{2}}\\2=2

    По теореме Фалеса (параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки), следует, MN||BK₁.
    ВК₁ – это проекция В₁К на плоскость АВС, значит ВК1||В₁К.
    Из MN||BK₁ и ВК₁||В₁К следует, что КВ₁||MN, отсюда В₁ ∈ плоскость MNK.
    Что и требовалось доказать.
б) Найти расстояние от точки С до плоскости KMN, АВ = 6, АА₁ = 2,4.
    Найдём чему в наших обозначениях равен х:

АВ = 6
3х = 6
х = \frac{6}{3} = 2

    ВК₁ по построению является медианой, а значит и высотой в равностороннем ΔАВС, т.к. ВК1||CM, то СМ⊥NM.
    Построим искомое расстояние от точки С до плоскости КMN, это прямая СН, перпендикулярная двум прямым плоскости, прямой MN (MN⊥CM) и прямой KS (KS⊥СН):

    В нём найдём К₁С и К₁М:

АК₁ = К₁С = \frac{AC}{2} = \frac{3x}{2}
К₁М = К₁С – МС = \frac{3x}{2} – х = \frac{x}{2}

    Заметим:

\frac{CN}{NB}=\frac{CM}{MK_{1}}\\\frac{2x}{x}=\frac{x}{\frac{x}{2}}\\2=2

    По теореме Фалеса (параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки), следует, MN||BK₁.
    ВК₁ – это проекция В₁К на плоскость АВС, значит ВК1||В₁К.
    Из MN||BK₁ и ВК₁||В₁К следует, что КВ₁||MN, отсюда В₁ ∈ плоскость MNK.
    Что и требовалось доказать.
б) Найти расстояние от точки С до плоскости KMN, АВ = 6, АА₁ = 2,4.
    Найдём чему в наших обозначениях равен х:

АВ = 6
3х = 6
х = \frac{6}{3} = 2

    ВК₁ по построению является медианой, а значит и высотой в равностороннем ΔАВС, т.к. ВК1||CM, то СМ⊥NM.
    Построим искомое расстояние от точки С до плоскости КMN, это прямая СН, перпендикулярная двум прямым плоскости, прямой MN (MN⊥CM) и прямой KS (KS⊥СН):

    Рассмотрим ΔКС₁S:

CM = x = 2
КС₁ = \frac{AB}{2} = \frac{A_{1}C_{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3
СС₁ = АА₁ = 2,4

    ΔKC₁S подобен ΔМСS (по двум равным углам ∠S общий, ∠С = ∠С₁ = 90°), стороны пропорциональны, найдём СS:

\frac{KC_{1}}{MC}=\frac{C_{1}S}{CS}\\\frac{KC_{1}}{MC}=\frac{C_{1}C+CS}{CS}\\\frac{3}{2}=\frac{2,4+CS}{CS}
3·CS = 2·(2,4+ CS)
3CS = 4,8+ 2CS
3CS – 2CS = 4,8
CS = 4,8

    В прямоугольном Δ МСS по теореме Пифагора найдём гипотенузу MS:

MS^{2}=\sqrt{MC^{2}+CS^{2}}=\sqrt{2^{2}+4,8^{2}}=\sqrt{27,04}=5,2

    Найдём высоту СН в прямоугольном Δ МСS:

{\color{Red} CH}=\frac{MC\cdot CS}{MS}=\frac{2\cdot 4,8}{5,2}=\frac{4,8}{2,6}=\frac{48}{26}=\frac{24}{13}=1\frac{11}{13}

Ответ: б) 1\frac{11}{13}.