В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет …

Задание ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Определите площадь треугольника.

Решение

Решение:

    Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
    Обозначим стороны 4х и 5х. По теореме Пифагора найдём х:

(5х)² = (4х)² + 9²
25х² = 16х² + 81
9х² = 81
х² = 81/9 = 9
х = 3

    Тогда второй катет прямоугольного треугольника равен:

4х = 4·3 = 12

    Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов:

S_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9=6\cdot 9=54

Ответ: 54.