В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно, что AB = 8√2.

Задание ЕГЭ

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно, что AB = 8√2. Найти скалярное произведение векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC}.

Решение

Решение:

    В прямоугольном ΔАВС, по теореме Пифагора, найдём длину сторон АC = ВС = х:

АВ² = АС² + ВС²
(8√2)² = x² + x²
128 = 2х²
х² = 128/2 = 64
х = √64 = 8

    Треугольник равносторонний с прямым углом С, углы при основании значит равны, найдём угол А:

\angle A=\frac{180^{\circ }-\angle C}{2}=\frac{180^{\circ }-90^{\circ }}{2}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }

    Найдём скалярное произведение векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC}:

\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot cos\angle A=8\sqrt{2}\cdot 8\cdot cos45^{\circ }=64\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{64\cdot \sqrt{2}^{2}}{2}=64

Ответ: 64.