Задание ЕГЭ
В равнобедренном треугольнике MNK (NK = MK) проведены высоты MP и NF. Известно, что PF = 3, а косинус угла К равен 0,3. Найдите длину стороны MN.Решение
Решение:
Рассмотрим ΔMFN и ΔNPM они прямоугольные, MN общая гипотенуза ∠M = ∠N как углы при основании равнобедренного треугольника. Значит эти треугольники равны (по гипотенузе и острому углу).
Тогда MF = NP, а т.к. MK = NK, то и FK = PK.
Рассмотрим ΔMNK и ΔFPK они равнобедренные с общим ∠К, значит треугольники подобны. Тогда стороны пропорциональны:
\frac{FP}{MN}=\frac{FK}{MK}=\frac{PK}{NK}\\cos\angle K=0,3=\frac{PK}{MK}=\frac{FK}{MK}\\\frac{FP}{MN}=0,3\\\frac{3}{MN}=0,3\\MN=\frac{3}{0,3}=10
Ответ: 10.