Задание ЕГЭ
В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла А пересекается с биссектрисой угла С в точке F, а также пересекает сторону CD в точке К. Известно, что прямые АВ и CF параллельны. Найдите CF, если FK = 4√3.Решение
Решение:*
ABCD – равнобедренная трапеция, углы при основаниях равны, сумма соседних (односторонних) углов равна 180°:
∠В = ∠С
∠А + ∠В = 180°
Отсюда:
∠А + ∠С = 180°
AK и CF – биссектрисы, делят углы пополам, тогда:
\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle C}{2}=\frac{180°}{2}
∠KAD + ∠DCF = 90°
По условию АВ||CP, следовательно, ∠ВАF = ∠CFK, как соответственные, ∠ВАF = ∠KAD, как образованные биссектрисой, тогда:
∠CFK + ∠KCF = 90°
Тогда в ΔСАK найдём ∠FKC:
∠FKC = 180 – (∠CFK + ∠KCF) = 180° – 90° = 90°
Получаем прямоугольный ΔCFK с гипотенузой CF и прямым углом ∠К = 90°.
E точка пересечении прямых AK и BC, углы ∠FAD = ∠CEK, как накрест лежащие углы, следовательно, ΔCFE – равнобедренный (CF = CE) с высотой CK. Значит, CK также и биссектриса, получаем:
∠ВСF = ∠FCK = ∠KCE = 180°/3 = 60°
Рассмотрим прямоугольный ΔFCK с углом ∠C = 60º и стороной FK = 4√3.
E точка пересечении прямых AK и BC, углы ∠FAD = ∠CEK, как накрест лежащие углы, следовательно, ΔCFE – равнобедренный (CF = CE) с высотой CK. Значит, CK также и биссектриса, получаем:
∠ВСF = ∠FCK = ∠KCE = 180°/3 = 60°
Рассмотрим прямоугольный ΔFCK с углом ∠C = 60º и стороной FK = 4√3.
Через синус угла С найдём искомую сторону СF:
sin\angle C=\frac{FK}{FC}\\sin60°=\frac{4\sqrt{3}}{FC}\\\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{FC}
Разделим обе части на √3:
\frac{1}{2}=\frac{4}{FC}
FC = 2·4 = 8
Ответ: 8.