Задание ЕГЭ
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 46. Найдите её среднюю линию.Решение
Решение:
Проведём удобную нам высоту НМ трапеции через точку пересечения диагоналей О:
В равнобедренной трапеции диагонали в точке пересечения делятся на равные отрезки:
OD = OC
Тогда ΔDOC равнобедренный, ОН в нём высота медиана и биссектриса:
∠ОНС = 90°
DН = НС
∠НОС = ∠DOC/2 = 90°/2 = 45°
Сумма углов любого треугольника равна 180°. Тогда ∠ОСН в ΔОСН равен:
∠ОСН = 180° – 90° – 45° = 45°
Углы при основании ΔОСН равны, значит он равнобедренный, боковые стороны равны:
ОН = НС
Всё аналогично в ΔОМВ, откуда:
ОМ = МВ
Тогда:
НМ = ОН + ОМ = НС + МВ = 46
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Ответ: 46.