Задание ЕГЭ
В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз? б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7? в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.Решение
Решение:
а) Пусть в школе №1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 19 баллов и перешёл в школу №2.
Тогда в школе №1 первоначальный средний балл был:
\frac{1+19}{2}=\frac{20}{2}=10
После перехода 2-го учащегося средний балл в школе №1 стал:
\frac{1}{1}=1
Средний балл уменьшился в:
\frac{10}{1}=10 раз
б) Обозначим:
а – первоначальное количество учеников в школе №1, может быть равно целому числу от 2 до 7. (в двух школах вместе 9 учащихся, минимум по 2 ученика в школе)
b – первоначальный средний балл в школе №1, может быть положительным целым числом, не равным 0. (натуральное количество баллов ≠ 0)
с – количество баллов за тест перешедшего ученика в школу №2, положительное целое число, не равное 0.
Заполним таблицу:
| Первоначально | После перехода ученика | |||
| Школа №1 | Школа №2 | Школа №1 | Школа №2 | |
| Число учеников | a | 9 – a | a – 1 | 10 – a |
| Средний балл | b | 7 | \frac{ab-c}{a-1} | \frac{7(9-a)+c}{10-a} |
| Сумма баллов | a·b | (9 – a)·7 | a·b – c | (9 – a)·7 + c |
Средний балл в обоих школах уменьшился на 10%, т.е. стал равен 90%. Получаем два уравнения, упростим второе:
1)\frac{ab-c}{a-1}=0,9\cdot b\\2)\frac{7(9-a)+c}{10-a}=0,9\cdot 7\\\frac{63-7a+c}{10-a}=6,3
6,3·(10 – а) = 63 – 7а + с
63 – 6,3а = 63 – 7а + с
– 6,3а + 7а= с
0,7а = с
Учитывая, что 2 ≤ а ≤ 7, решений в целых числах нет. Значит, первоначальный средний балл в школе № 2 не мог равняться 7.
в) Используем те же переменные, что и в пункте б).
d – первоначальный средний балл в школе №2, может быть положительным целым числом, не равным 0.
Заполним таблицу:
| Первоначально | После перехода ученика | |||
| Школа №1 | Школа №2 | Школа №1 | Школа №2 | |
| Число учеников | a | 9 – a | a – 1 | 10 – a |
| Средний балл | b | d | \frac{ab-c}{a-1} | \frac{(9-a)d+c}{10-a} |
| Сумма баллов | a·b | (9 – a)·d | a·b – c | (9 – a)·d + c |
Необходимо найти наименьшее d. Получаем два уравнения:
| 1) \frac{ab-c}{a-1}=0,9b | 2) \frac{(9-a)d+c}{10-a}=0,9d |
| 0,9ab – 0,9b = ab – c | 9d – 0,9ad = 9d – ad + c |
| ab – 0,9ab = c – 0,9b | – 0,9ad + ad = c |
| 0,1ab = c – 0,9b | 0,1ad = c |
| ab = 10c – 9b | ad = 10c |
| 10c = ab + 9b | 10c = ad |
Приравняем уравнения, но помним, что ab + 9b и ad кратно 10.
ab + 9b = ad
b(a + 9) = ad
Если d = 1, то а = 10 или 20 или 30 и т.д. (т.к. ad кратно 10), максимальное а = 7, решений нет.
Если d = 2, то а = 5,
b(5 + 9) = 5·2
14b = 10
b=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}
b – только целое, решений нет.
Если d = 3, то ad не может быть кратно 10, решений нет.
Если d = 4, то а = 5,
b(5 + 9) = 5·4
14b = 20
b=\frac{20}{14}=\frac{10}{7}
b – только целое, решений нет.
Если d = 5, то а = 2 или а = 4 или а = 6,
при а = 2:
b(2 + 9) = 2·5
11b = 10
b=\frac{10}{14}
b – только целое, решений нет.
при а = 4:
b(4 + 9) = 4·5
13b = 20
b=\frac{20}{13}
b – только целое, решений нет.
при а = 6:
b(6 + 9) = 6·5
15b = 30
b=\frac{30}{15}=2
Подходит d = 5, а = 6, b = 2 найдём с:
10c = ad
10с = 6·5
10с = 30
c=\frac{30}{10}=3
Приведём пример:
Подставим значения в таблицу и посчитаем:
| Первоначально | После перехода ученика | |||
| Школа №1 | Школа №2 | Школа №1 | Школа №2 | |
| Число учеников | a = 6 | 9 – a = 3 | a – 1 = 5 | 10 – a = 4 |
| Средний балл | b = 2 | d = 5 | \frac{ab-c}{a-1} = 1,8 | \frac{(9-a)d+c}{10-a} = 4,5 |
| Сумма баллов | a·b = 12 | (9 – a)·d = 15 | a·b – c = 9 | (9 – a)·d + c = 18 |
Проверим, уменьшился ли средний балл в обоих школах на 10%, т.е. до 90%.
Школа №1:
\frac{1,8}{2}=0,9
Школа №2:
\frac{4,5}{5}=0,9
0,9 = 90% верно.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.