В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O.

Задание ЕГЭ

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Решение

Решение:

    Рассмотрим два других треугольника ΔАDB и ΔАDС. Докажем, что их площади равны. У них общее основание АD. В каждом из них проведём высоты ВН и CN они будут равны как высоты трапеции.

S_{ADB}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot BH\\S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot CN

    Т.к. высоты CN = BH, то S_ADB = S_ADC.   
    Площади ΔАOВ и ΔСOD можно получить отняв от площадей треугольников S_ADB = S_ADC площадь треугольника ΔАOD:

S_АOВ = S_ADB – S_АOD
S_СOD = S_ADC – S_АOD

    Т.к. S_ADB = S_ADC, то и S_АOВ = S_СOD.
    Что и требовалось доказать.