Задание ЕГЭ
В трапеции АВСD основания АD и ВС равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании АD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой СD, если АВ = 24.Решение
Решение:
Продолжим касательную CD и прямую АВ они пересекутся в какой то точке К.
По условию ∠А + ∠D = 90°, в треугольнике сумма 3-х углов равна 180°, тогда в ΔAKD ∠K = 180° – 90° = 90°, значит треугольник прямоугольный.
Треугольники ΔAKD и ΔBKC подобны по двум углам, в них ∠К общий, ∠KAD = ∠KBC как соответственные при BC||AD и секущей AB. Запишем пропорциональные стороны и найдём КB:
\frac{BC}{AD}=\frac{KB}{AB}\\\frac{2}{34}=\frac{KB}{KB+24}\\\frac{1}{17}=\frac{KB}{KB+24}\\1\cdot (KB+24)=17\cdot KB\\KB+24=17\cdot KB\\24=17\cdot KB-KB\\24=16\cdot KB\\KB=\frac{24}{16}=1,5
Проведём радиус ОT к касательной, ОT⊥DK.
Проведём перпендикулярную прямую ON к хорде AB, она будет делить АВ на два равных отрезка, найдём NB:
NB=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12
Продолжим касательную CD и прямую АВ они пересекутся в какой то точке К.
По условию ∠А + ∠D = 90°, в треугольнике сумма 3-х углов равна 180°, тогда в ΔAKD ∠K = 180° – 90° = 90°, значит треугольник прямоугольный.
Треугольники ΔAKD и ΔBKC подобны по двум углам, в них ∠К общий, ∠KAD = ∠KBC как соответственные при BC||AD и секущей AB. Запишем пропорциональные стороны и найдём КB:
\frac{BC}{AD}=\frac{KB}{AB}\\\frac{2}{34}=\frac{KB}{KB+24}\\\frac{1}{17}=\frac{KB}{KB+24}\\1\cdot (KB+24)=17\cdot KB\\KB+24=17\cdot KB\\24=17\cdot KB-KB\\24=16\cdot KB\\KB=\frac{24}{16}=1,5
Проведём радиус ОT к касательной, ОT⊥DK.
Проведём перпендикулярную прямую ON к хорде AB, она будет делить АВ на два равных отрезка, найдём NB:
NB=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12
В четырёхугольнике NKTO три прямых угла, значит и 4-й угол прямой. Получаем, что это прямоугольник, противоположные стороны равны. Радиус OT равен:
OT = NK = NB + BK = 12 + 1,5 = 13,5
Ответ: 13,5.