В трапеции MNPK с основаниями NP и MK диагонали пересекаются в точке F.

Задание ЕГЭ

В трапеции MNPK с основаниями NP и MK диагонали пересекаются в точке F. Докажите, что площади треугольников MNF и PKF равны.

Решение

Решение:

    Рассмотрим два других треугольника ΔMNK и ΔMPK. Докажем, что их площади равны. У них общее основание MK. В каждом из них проведём высоты NA и PB они будут равны как высоты трапеции.

S_{MNK}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot NA\\S_{MPK}=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot PB

    Т.к. высоты NA = PB, то S_MNK = S_MPK.   
    Площади ΔMNF и ΔPKF можно получить отняв от площадей треугольников S_MNK = S_MPK площадь треугольника ΔMFK:

S_MNF = S_MNK – S_MFK
S_PKF = S_MPK – S_MFK

    Т.к. S_MNK = S_MPK, то и S_MNF = S_PKF.
    Что и требовалось доказать.