В треугольнике ABC длины сторон и его площадь связаны соотношением S=√3/4(b^2+c^2-a^2).

Задание ЕГЭ

В треугольнике ABC длины сторон и его площадь связаны соотношением S=\frac{\sqrt{3}}{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2}). Найдите градусную меру угла А.

Решение

Решение:

    По теореме косинусов:

a² = b² + c² – 2bc·cos a
b² + c² – a² = 2bc·cos a

    Подставим в начальное соотношение:

S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2bc\cdot cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot bc\cdot cos\alpha

    Площадь треугольника через синус угла:

S=\frac{1}{2}\cdot bc\cdot sin\alpha

    Приравняем эти две формулы нахождения площадей:

\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot bc\cdot cos\alpha=\frac{1}{2}\cdot bc\cdot sin\alpha\\\sqrt{3}\cdot cos\alpha=sin\alpha

    Обе части поделим на cos a, получим:

\sqrt{3}=tg\alpha\\\alpha=60°

Ответ: 60.