В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1 , точки K и M − основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.

Задание ЕГЭ

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, точки K и M − основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.

Решение

Решение:

    a) Продолжим ВК и ВМ до К₁ и М₁ – точек пересечения с АС.
    СК в ΔСВК₁ является биссектрисой, высотой, а значит и медианой, тогда:

ВК = КК₁

    АМ в ΔАВМ₁ является биссектрисой, высотой, а значит и медианой, тогда:

ВМ = ММ₁

    Значит, КМ средняя линяя ΔК₁ВМ₁, отсюда КМ || К₁М₁, т.к. К₁М₁∈АС, то КМ || АС.
    Что и требовалось доказать.
    б) ΔСВК₁ и  ΔАВМ₁ равнобедренные (пункт а), тогда боковые стороны равны ВС = СК₁ = 6, АВ = АМ₁ = 8. Найдём К₁М₁:

АК₁ = АС – СК₁ = 10 – 6 = 4
СМ₁ = АС – АМ₁ = 10 – 8 = 2
К₁М₁ = АС – АК₁ – СМ₁ = 10 – 4 – 2 = 4

    По свойству средней линии:

KM=\frac{K_{1}M_{1}}{2}=\frac{4}{2}=2

    Треугольник АВС прямоугольный его стороны 6, 8, 10 – увеличенный в два раза египетский треугольник (2·3, 2·4, 2·5). Найдём его высоту из прямого угла В:

h=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{8\cdot 6}{10}=4,8

    Высота треугольника КВМ в два раза меньше:

h_{1}=\frac{h}{2}=\frac{4,8}{2}=2,4

    Найдём площадь треугольника КВМ:

S_{\Delta KBM}=\frac{1}{2}\cdot KM\cdot h_{1}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2,4=2,4

Ответ: 2,4.