В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1.

Задание ЕГЭ

В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.

Решение

Решение:

    Треугольники ΔBB₁А и ΔАА₁B  прямоугольные с общей гипотенузой BА, значит BА является диаметром описанной окружности, вершины B, B₁, А₁, А лежат на одной окружности.
    ∠А₁B₁А = ∠А₁BА как вписанные углы опирающиеся на одну и туже дугу окружности ‿А₁А, значит ∠А₁B₁С = ∠СВА, как равные соответствующим вписанным углам.
    ∠В₁СА₁ = ∠ВСА равны как вертикальные.
    Треугольники ΔА₁СВ₁ и ΔАСВ подобны по двум равным углам.
    Что и требовалось доказать.