В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, cosA = 2√5/5.

Задание ЕГЭ

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, cosA = \frac{2\sqrt{5}}{5}. Найдите AC.

Решение

Решение:

    По теореме Пифагора, в прямоугольном ΔАВС, выразим АВ:

АВ² = АС² + ВС² = АС² + 3² = АС² + 9
AB=\sqrt{AC^{2}+9}

    Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos\angle A=\frac{AC}{AB}\\\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{AC}{\sqrt{AC^{2}+9}}\:{\color{Blue} |^{2}}\\\frac{20}{25}=\frac{AC^{2}}{AC^{2}+9}\\\frac{4}{5}=\frac{AC^{2}}{AC^{2}+9}\\4\cdot (AC^{2}+9)=5AC^{2}\\4AC^{2}+36=5AC^{2}\\36=5AC^{2}-4AC^{2}\\36=AC^{2}\\AC=\sqrt{36}=6

Ответ: 6.