Задание ЕГЭ
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, BC = 5, cosA=\frac{2\sqrt{6}}{5}. Найдите длину отрезка AH.Решение
Решение:
Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{6}}{5}=\frac{2\sqrt{6}\cdot x}{5\cdot x}
В прямоугольном ΔАВС, по теореме Пифагора, найдём х, а тогда и стороны треугольника:
АС2 + СВ2 = АВ2
(2√6·х)2 + 52 = (5·х)2
24х2 + 25 = 25х2
25 = х2
х = √25 = 5
Найдём стороны треугольника:
АС = 2√6·х = 2√6·5 = 10√6
АВ = 5·х = 5·5 = 25
Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
cosA=sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{6}}{5}
По основному тригонометрическому тождеству:
sin2B + cos2B = 1
(\frac{2\sqrt{6}}{5})^{2}+cos^{2}B=1\\\frac{24}{25}+cos^{2}B=1\\cos^{2}B=1-\frac{24}{25}\\cos^{2}B=\frac{1}{25}\\cosB=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}
В ΔСВН найдём НВ:
cosB=\frac{HB}{CB}\\\frac{1}{5}=\frac{HB}{5}\\HB=1
Найдём длину отрезка АН:
АН = АВ – НВ = 25 – 1 = 24
Ответ: 24.