В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH − высота, BC=7, tgA=4√33/33.

На чтение 1 мин Просмотров 7 Обновлено 03.04.2024

Задание ЕГЭ

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH − высота, BC = 7, tgA = . Найдите BH.

Решение

Решение:

Используем тригонометрическую формулу:

$1+tg^{2}A=\frac{1}{cos^{2}A}$

$1+(\frac{4\sqrt{33}}{33})^{2}=\frac{1}{cos^{2}A}$

$\frac{33}{33}+\frac{16\cdot 33}{33^{2}}=\frac{1}{cos^{2}A}$

$\frac{33}{33}+\frac{16}{33}=\frac{1}{cos^{2}A}$

$\frac{49}{33}=\frac{1}{cos^{2}A}$

$cos^{2}A= \frac{33}{49}$

$cosA= \frac{\sqrt{33}}{7}$

Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
В ΔАВС:

$cosA= \frac{AC}{AB}=sinB=\frac{\sqrt{33}}{7}$

По основному тригонометрическому тождеству:

$(\frac{\sqrt{33}}{7})^{2}$ + cos2B = 1
cos2B = 1 – $\frac{33}{49}=\frac{16}{49}$

cosB = $\sqrt{\frac{16}{49}}=\frac{4}{7}$

В ΔВСН найдём ВН:

$\cos B=\frac{BH}{BC}$

$\frac{4}{7}=\frac{BH}{7}$

BH = 4

Ответ: 4.