Задание ЕГЭ
В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 104. Найдите стороны треугольника АВС.Решение
Решение:
ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:
AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{104}{2}=52
Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
Построим отрезок DM параллельный КЕ:
ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:
AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{104}{2}=52
Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
Построим отрезок DM параллельный КЕ:
Рассмотрим ΔВЕС в нём DM средняя линия (т.к. ВЕ||DM, D середина ВС), значит ЕМ = МС.
Рассмотрим ΔАDM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM||КЕ, К середина АD), значит АЕ = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
Найдём среднюю линию DM:
DM=\frac{BE}{2}=\frac{104}{2}=52
Найдём среднюю линию КЕ:
KE=\frac{DM}{2}=\frac{52}{2}=26
Найдём ВК:
ВК = ВЕ – КЕ = 104 – 26 = 78
Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:
AB=\sqrt{52^{2}+78^{2}}=\sqrt{2704+6084}=\sqrt{8788}=\sqrt{676\cdot 13}=26\sqrt{13}
Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:
ВС = 2·АВ = 2·26√13 = 52√13
Из прямоугольного ΔАКЕ по теореме Пифагора найдём АЕ:
AE=\sqrt{52^{2}+26^{2}}=\sqrt{2704+676}=\sqrt{3380}=\sqrt{676\cdot 5}=26\sqrt{5}
Cторона АС в три раза больше стороны АЕ:
АС = 3·АЕ = 3·26√5 = 78√5
Ответ: 26√13; 52√13; 78√5.