Задание ЕГЭ
В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника АВС.Решение
Решение:
ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:
AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6
Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
Построим отрезок DM параллельный КЕ:
ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:
AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6
Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
Построим отрезок DM параллельный КЕ:
Рассмотрим ΔВЕС в нём DM средняя линия (т.к. ВЕ||DM, D середина ВС), значит ЕМ = МС.
Рассмотрим ΔАDM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM||КЕ, К середина АD), значит АЕ = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
Найдём среднюю линию DM:
DM=\frac{BE}{2}=\frac{12}{2}=6
Найдём среднюю линию КЕ:
KE=\frac{DM}{2}=\frac{6}{2}=3
Найдём ВК:
ВК = ВЕ – КЕ = 12 – 3 = 9
Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:
AB=\sqrt{6^{2}+9^{2}}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=\sqrt{9\cdot 13}=3\sqrt{13}
Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:
ВС = 2·АВ = 2·3√13 = 6√13
Из прямоугольного ΔАКЕ по теореме Пифагора найдём АЕ:
AE=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=\sqrt{9·5}=3\sqrt{5}
Cторона АС в три раза больше стороны АЕ:
АС = 3·АЕ = 3·3√5 = 9√5
Ответ: 3√13; 6√13; 9√5.