Задание ЕГЭ
В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника АВС.Решение
Решение:
ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:
AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{96}{2}=48
Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
Построим отрезок DM параллельный КЕ:
ВК в ΔАВD является биссектрисой и высотой, а значит и медианой, тогда:
AK=KD=\frac{AD}{2}=\frac{96}{2}=48
Если ВК биссектриса, высота и медиана значит ΔАВD равнобедренный, в нём боковые стороны равны AB = BD.
Построим отрезок DM параллельный КЕ:
Рассмотрим ΔВЕС в нём DM средняя линия (т.к. ВЕ||DM, D середина ВС), значит ЕМ = МС.
Рассмотрим ΔАDM в нём КЕ средняя линия (т.к. DM||КЕ, К середина АD), значит АЕ = ЕМ. Получаем АЕ = ЕМ = МС.
Найдём среднюю линию DM:
DM=\frac{BE}{2}=\frac{96}{2}=48
Найдём среднюю линию КЕ:
KE=\frac{DM}{2}=\frac{48}{2}=24
Найдём ВК:
ВК = ВЕ – КЕ = 96 – 24 = 72
Из прямоугольного ΔАВК по теореме Пифагора найдём АВ:
AB=\sqrt{48^{2}+72^{2}}=\sqrt{2304+5184}=\sqrt{7488}=\sqrt{576\cdot 13}=24\sqrt{13}
Cторона ВС в два раза больше стороны АВ:
ВС = 2·АВ = 2·24√13 = 48√13
Из прямоугольного ΔАКЕ по теореме Пифагора найдём АЕ:
AE=\sqrt{48^{2}+24^{2}}=\sqrt{2304+576}=\sqrt{2880}=\sqrt{576\cdot 5}=24\sqrt{5}
Cторона АС в три раза больше стороны АЕ:
АС = 3·АЕ = 3·24√5 = 72√5
Ответ: 24√13; 48√13; 72√5.