В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК : КМ = 6 : 7

Задание ЕГЭ

В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК : КМ = 6 : 7. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК.

Решение

Решение:

    По теореме Менелая для треугольника ΔМВС и прямой АP:

\frac{MK}{KB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CA}{AM}=1\\ \frac{7}{6}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{2y}{y}=1\\\frac{BP}{PC}=\frac{3}{7}

    По теореме Менелая для треугольника ΔМВС и прямой АP:

\frac{MK}{KB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CA}{AM}=1\\ \frac{7}{6}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{2y}{y}=1\\\frac{BP}{PC}=\frac{3}{7}

    Обозначим S_ΔABC , как S.
    Треугольники ABM и BMC равновеликие, т.к. образованы медианой BM, значит имеют равную площадь:

S_{\bigtriangleup AMB}=S_{\bigtriangleup MBC}=\frac{1}{2}S

    Основание ВК треугольника АВК, составляет 6/13 основания ВМ треугольника АВМ (6 частей из 13 (6 + 7) частей), тогда S_ΔАВК равна:

S_{\bigtriangleup ABK}= {\color{Magenta} \frac{6}{13}\cdot \frac{1}{2}S}

    Из отношения площадей треугольников ΔВРК и ΔВМС выразим S_ΔBPK.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника (общий ∠В), то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы (из формулы площадей треугольников через синус угла и две прилежащие к нему стороны):

\frac{S_{\bigtriangleup BPK}}{S_{\bigtriangleup BMC}}=\frac{BK\cdot BP}{BM\cdot BC} \\\frac{S_{\bigtriangleup BPK}}{\frac{1}{2}S}=\frac{6\cdot 3}{13\cdot 10}\\ S_{\bigtriangleup BPK}={\color{Green} \frac{6}{13}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}S}

    Находим отношение площадей S_ΔBKP : S_ΔABK:

\frac{S_{\bigtriangleup BPK}}{S_{\bigtriangleup ABK}}=\frac{{\color{Green} \frac{6}{13}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{1}{2}S}}{{\color{Magenta} \frac{6}{13}\cdot \frac{1}{2}S}}=\frac{3}{10}=3:10

 Ответ: 3:10.