В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА1 и CC1.

Задание ЕГЭ

В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА1 и CC1. Докажите, что треугольники А1ВС1 и АВС подобны.

Решение

Решение:

    Треугольники ΔАА₁С и ΔСС₁А  прямоугольные с общей гипотенузой АС, значит АС является диаметром описанной окружности, вершины А, А₁, С₁, С лежат на одной окружности.
    ∠С₁А₁С = ∠С₁АС как вписанные углы опирающиеся на одну и туже дугу окружности ‿С₁С, значит ∠С₁А₁В = ∠ВАС, как равные соответствующим вписанным углам.
    ∠С₁ВА₁ = ∠АВС равны как вертикальные.
    Треугольники ΔА₁ВС₁ и ΔАВС подобны по двум равным углам.
    Что и требовалось доказать.