В треугольную пирамиду вписана сфера радиуса 1.

Задание ЕГЭ

В треугольную пирамиду вписана сфера радиуса 1. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее объем равен 3.

Решение

Решение:

    Изобразим треугольную пирамиду АВСS и вписанную в неё сферу с центром О:

S_{пол.пов.} = S_ABC + S_ASC  + S_BSC + S_ASB

    Объём треугольной пирамиды это сумма объёмов 4-х меньших треугольных пирамид, с вершинами в точке О и основаниями, которые являются гранями исходной пирамиды, а их высоты это радиус сферы:

V_ABCS = V_ABCO + V_ASCO + V_BSCO + V_ASBO

V_ABCS = \frac{1}{3}·R·S_ABC + \frac{1}{3}·R·S_ASC  + \frac{1}{3}·R·S_BSC + \frac{1}{3}·R·S_ASB

V_ABCS = \frac{1}{3}·R·(S_ABC + S_ASC  + S_BSC + S_ASB)

V_ABCS = \frac{1}{3}·R·S_{пол.пов.}

    По условию объём большой треугольной пирамиды равен 3, а радиус сферы равен 1, подставим:

3 = \frac{1}{3}·1·S_{пол.пов.}

3 = \frac{1}{3}·S_{пол.пов.}

S_{пол.пов.} = 3·3 = 9 

Ответ: 9.