Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу.

Задание ЕГЭ

Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказалось, что количества рыб, пойманных каждым из них, образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Если бы Алик поймал столько же рыб, сколько Вадим, а Вадим поймал бы на 12 рыб больше, то количества рыб, пойманных юношами, образовали бы в том же порядке геометрическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша?

Решение

Решение:

    a – поймал рыбы Ваня;
    d – разность ариф. прогрессии, на сколько больше поймал каждый мальчик;

Арифметическая прогрессия:

Ваня	Миша	Алик	Вадим
а	a + d	a + 2d	a + 3d

Геометрическая прогрессия:

Ваня	Миша	Алик (столько же, сколько Вадим)	Вадим (на 12 больше)
а	a + d	а + 3d	a + 3d +12

    Т.к. это геометрическая прогрессия, то каждый следующий мальчик поймал рыбы в q раз больше предыдущего. Запишем это для Вани, Миши и Алика:

    Приравняв дроби, получим пропорцию:

(a + d)·(a + d) = (a + 3d)·a
a² + 2ad + d² = a² + 3ad
–ad + d² = 0
d·(–a + d) = 0
d = 0 ∉  или  –a + d = 0
                     d = a

    Запишем соотношения для Миши, Алика и Вадима:

    Приравняв дроби, получим пропорцию:

    Подставим d = a:

2a = a + 3
a = 3

    Найдём сколько рыбы поймал Миша:

a + d = a + a = 3 + 3 = 6

Ответ: 6.