Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма.

Задание ЕГЭ

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 4.

Решение

Решение:

    Необходимо найти отношение площадей ромба (найдём через соседние стороны и синус угла между ними) и параллелограмма (найдём через диагонали и синус угла между ними):

\frac{S_{{\color{Orange} NMPK}}}{S_{{\color{Blue} ABCD}}}=\frac{MP\cdot PK\cdot \sin \alpha }{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin \alpha }

    Все стороны ромба равны, обозначим их за а:

MP = PK = a

    Отношение диагоналей параллелограмма по условию равно 4, тогда:

\frac{AC}{BD}=\frac{4}{1}
АС = 4·BD

    Острый угол между диагоналями параллелограмма и угол между сторонами ромба равны, обозначим за α (как углы с соответственно параллельными сторонами, можно доказать через их общий соответственный угол при параллельных прямых и накрест лежащей).
    Тогда отношение принимает вид:

\frac{S_{{\color{Orange} NMPK}}}{S_{{\color{Blue} ABCD}}}=\frac{MP\cdot PK\cdot \sin \alpha }{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot \sin \alpha }=\frac{a^{2}}{\frac{1}{2}\cdot 4\cdot BD\cdot BD}=\frac{a^{2}}{2\cdot BD^{2}}

    Выразим диагональ BD через сторону ромба а.
    ΔBCD∼ΔPCK по двум равным углам (∠С – общий, ∠KРС = ∠DВС – как соответственные, при параллельных DВ||КР и секущей СВ), запишем отношение соответствующих сторон:

\frac{PK}{BD}=\frac{CP}{CB}\\{\color{Magenta}\frac{a}{BD}}=\frac{CP}{CB}

    ΔАВС∼ΔМВР по двум равным углам (∠В – общий, ∠MPB = ∠ACB – как соответственные, при параллельных MP||AC и секущей СВ), запишем отношение соответствующих сторон:

\frac{MP}{AC}=\frac{BP}{CB}\\\frac{a}{4\cdot BD}=\frac{BP}{CB}\\{\color{Magenta}\frac{a}{ BD}}=\frac{4\cdot BP}{CB}

    Левые части двух соотношений сторон пар треугольников равны, значит и правые части равны:

\frac{CP}{CB}=\frac{4\cdot BP}{CB}
СР = 4·BP

    Тогда:

СB = CP + BP = 4BP + BP = 5BP

    Подставим СР и СВ выраженное, через ВР в первое отношение сторон треугольников:

\frac{a}{BD}=\frac{CP}{CB}\\\frac{a}{BD}=\frac{4BP}{5BP}\\\frac{a}{BD}=\frac{4}{5}\\BD=\frac{5a}{4}

    Подставим значение BD в отношение:

\frac{S_{{\color{Orange} NMPK}}}{S_{{\color{Blue} ABCD}}}=\frac{a^{2}}{2\cdot BD^{2}}=\frac{a^{2}}{2\cdot (\frac{5a}{4})^{2}}=\frac{a^{2}}{\frac{2\cdot 25a^{2}}{16}}=\frac{a^{2}\cdot 16}{2\cdot 25\cdot a^{2}}=\frac{8}{25}

    Получили:

S_NMPK:S_ABCD = 8:25

Ответ: 8:25.