Задание ЕГЭ
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6:13:17. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 18.Решение
Решение:
Длины дуг относятся как 6:13:17. Значит и градусные меры дуг относятся как 6:13:17.
Пусть ‿АВ = 6х меньшая дуга лежит напротив меньшей стороны АВ = 18, ‿АС = 13х, ‿ВС = 17х. Вся окружность равна 360°. Найдём градусную меру ‿АВ:
‿АВ + ‿АС + ‿ВС = 360º
6х + 13х + 17х = 360
36х = 360
х = 360/36 = 10
‿АВ = 6х = 6·10 = 60º
Вписанный угол (∠С) всегда в два раза меньше градусной меры дуги на которую опирается:
∠С = ‿АВ/2 = 60/2 = 30º
По теореме синусов найдём радиус (R) окружности:
2R=\frac{AB}{\sin \angle C}\\2R=\frac{18}{\sin 30^{\circ}}\\2R=\frac{18}{\frac{1}{2}}\\2R=36\\R=\frac{36}{2}=18
Ответ: 18.