Все члены конечной последовательности являются натуральными числами.

Задание ЕГЭ

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 8 раз больше, либо в 8 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4040.

Решение

Решение:

а) Пусть первый член последовательности равен х, тогда сумма последовательности из 3-х членов, может выглядеть следующим образом:

х + 8·х + х = 10х

    По условию сумма равна 4040:

10х = 4040
х = 4040/10 = 404

    Делится нацело, значит последовательность может состоять из 3-х членов:

х₁ = 404
х₂ = 8·404 = 3232
х₃ = 404

х₁ + х₂ + х₃ = 404 + 3232 + 404 = 4040

б) В последовательности с чётным количеством членов, если сгруппировать подряд по два члена последовательности, их можно представить в виде 8х + х или х + 8х, их сумма 9х, делится нацело на 9, сумма каждой такой пары последовательности делится на 9, значит и сумма всей последовательности делится на 9. 
    4 это чётное количество членов, сумма такой последовательности делится на 9, а 4040 не делится нацело на 9, значит последовательность не может состоять из четырёх членов.

в) Возьмём самые маленькие первый член последовательности, которые будут чередоваться, это 1 и 8.
    Тогда последовательность с наименьшими членами может выглядеть следующим образом (одинаковое количество 1 и 8 быть не может, следует из пункта б):

1 + 8 + 1 + 8 + … + 1 (на одну 1 больше)
8 + 1 + 8 + 1 + … + 8 (на одну 8 больше)

    Сумма членов в каждом из них равна (а и b – количество 8 в каждой из последовательностей):

1·(а + 1) + 8·a = a + 1 + 8a = 9a + 1
9a + 1 = 4040
9a = 4040 – 1
9а = 4039
а = 4039/9 не делится

8·b + 1·(b – 1) = 8b + 1b – 1 = 9b – 1 
9a – 1 = 4040
9a = 4040 + 1
9а = 4041
а = 4041/9 = 449

    Значит в последовательности 449 восьмёрок и 449 – 1 = 448 единиц, всего членов:

449 + 448 = 897

Ответ: а) да; б) нет; в) 897.