Задание ЕГЭ
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9177.Решение
Решение:
а) Пусть первый член последовательности равен х, тогда сумма последовательности из 3-х членов, может выглядеть следующим образом:
х + 7·х + 7·7·х = х + 7х + 49х = 57х
По условию сумма равна 9177:
57х = 9177
х = 9177/57 = 161
Делится нацело, значит последовательность может состоять из 3-х членов:
х1 = 161
х2 = 7·161 = 1127
х3 = 7·1127 = 7889
х1 + х2 + х3 = 161 + 1127 + 7889 = 9177
б) Сумма последовательности из 5-х членов, может выглядеть следующим образом:
х + 7х + 49х + 343х + 2401х = 2801х
2801х = 9177
х = 9177/2801 нацело не делится
х + 7х + х + 7х + х = 17х
17х = 9177
х = 9177/17 нацело не делится
Пусть первый член последовательности равен 7х, тогда:
7х + х + 7х + х + 7х = 23х
23х = 9177
х = 9177/23 = 399
Делится нацело, значит последовательность может состоять из 5 членов:
х1 = 7х = 7·399 = 2793
х2 = х = 399
х3 = 7х = 7·399 = 2793
х4 = х = 399
х5 = 7х = 7·399 = 2793
х1 + х2 + х3 + х4 + х5 = 2793 + 399 + 2793 + 399 + 2793 = 9177
в) Возьмём самый маленький первый член последовательности:
х1 = 1
Тогда последовательность с наименьшими членами может выглядеть следующим образом:
1 + 7 + 1 + 7 + … + 1 (на одну 1 больше)
1 + 7 + 1 + 7 + … + 7 (равное количество 1 и 7)
Сумма членов в каждом из них равна (а и b – количество 7 в каждой из последовательностей):
1·(а + 1) + 7·a = a + 1 + 7a = 8a + 1 – не чётное и 9177 нечётное, значит 9177 на 8a + 1 делится нацело;
1·b + 7·b = 8·b – чётное, а 9177 нечётное, значит 9177 на 8·b не делится нацело;
8a + 1 = 9177
8a = 9177 – 1
8а = 9176
а = 9176/8 = 1147
Значит в последовательности 1147 семёрок и 1147 + 1 = 1148 единиц, всего членов:
1147 + 1148 = 2295
Ответ: а) да; б) да; в) 2295.