Задание ЕГЭ
Высота правильной треугольной пирамиды в три раза меньше высоты основания пирамиды. Найдите угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах.Решение
Решение:
Точка О – пересечение высот, медиан и биссектрис равностороннего треугольника в основании, а значит и центр вписанной и описанной окружности.
Тогда ОК и ОС радиусы вписанной и описанной окружности соответственно. Они равны:
OC=\frac{CA}{\sqrt{3}}\\OK=\frac{CA}{2\sqrt{3}}
Найдём СК:
CK=OC+OK=\frac{CA}{\sqrt{3}}+\frac{CA}{2\sqrt{3}}=\frac{CA\cdot 3}{2\sqrt{3}}
По условию высоты соотносятся как:
CK = 3OS
Найдём ОS:
OS=\frac{CK}{3}=\frac{\frac{CA\cdot 3}{2\sqrt{3}}}{3}=\frac{CA\cdot 3}{3\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{CA}{2\sqrt{3}}
Получаем, что в ΔOKS две стороны равны SO = OK, значит треугольник равнобедренный, ещё он прямоугольный тогда угол K равен:
\angle K=\frac{180°-90°}{2}=45°
Ответ: 45.