Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 4 и 7.

Задание ЕГЭ

Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 4 и 7. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её в отношении 2:7, считая от вершины.

Решение

Решение:

    Высота ВН делит основание АС на АН = 4 и НС = 7.
    Высота АК делит высоту ВН на ВО = 2х и ОН = 7х, тогда ВН = 2х + 7х = 9х.
    ΔАНО подобен ΔВКО, т.к. ∠АНО = ∠ВКО = 90°, ∠АОН = ∠ВОК как вертикальный. Запишем отношение пропорциональных сторон треугольников:

    ΔBHC подобен ΔВКО, т.к. ∠BHC = ∠ВКО = 90°, ∠B – общий. Запишем отношение пропорциональных сторон треугольников:

    В каждой пропорции возьмём последние две дроби и выразим из них KO:

    Приравняем значения КО:

  |: 7BK

x·9x = 4
9x² = 4
x² = \frac{4}{9}
x=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}

    Зная х найдём искомую высоту ВН:

ВН = 9х = 9\cdot \frac{2}{3} = 3·2 = 6

Ответ: 6.