Найдите наименьшее значение функции y = e^2x – 6e^x + 3

Задание ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции y = e2x – 6ex + 3 на отрезке [1;2] 

Решение

Решение:

[1;2]
1 ≤ x ≤ 2
e ≤ e^x ≤ e²
Замена t = e^x , t ∈ [e;e²]

    y = t² – 6t + 3 – графиком является парабола, ветви направленны вверх, наименьшее значение будет в точке минимума, точка минимума – вершина параболы:

x=\frac{–b}{2a}=\frac{6}{2}=3
y(3) = 3² – 6·3 + 3 = 9 – 18 + 3 = –6

Ответ: –6.