Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Задание ЕГЭ

Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Решение

Решение:

    У правильной четырехугольной пирамиды в основании квадрат. По теореме Пифагора, найдём диагональ квадрата:

АС² = АВ² + ВС²
АС² = 6² + 6²
АС² = 2·6²
АС = √2·6

    Высота пирамиды опускается в точку пересечения диагоналей квадрата. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам. Найдём ОС:

OC=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot 6}{2}=\sqrt{2}\cdot 3

    В прямоугольном ΔSOC, по теореме Пифагора, найдём SC:

SC² = SO² + OC²
SC² = 4² + (√2·3)²
SC² = 16 + 18
SC² = 34
SC = √34

    Найдём НС:

НС = ВС/2 = 6/2 = 3

    В прямоугольном ΔSHC, по теореме Пифагора, найдём SH:

SC² = HC² + SH²
(√34)² = 3² + SH²
34 = 9 + SH²
SH² = 34 – 9
SH² = 25
SH = √25 = 5

    Найдём площадь равнобедренного ΔBCS:

S_ΔBCS = ½·BC·SH = ½·6·5 = 15

    Площадь поверхности четырехугольной пирамиды, это площадь 4-х равных треугольников и площадь квадрата в основании:

S_{пов. пирам.} = 4·S_ΔBCS + S_◻ABCD = 4·15 + AB² = 60 + 6² = 60 + 36 = 96

Ответ: 96.