В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тыс. рублей на 10 лет.

Задание ЕГЭ

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:– в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов на сумму 650 тыс. рублей долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года; – в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;– к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решение

Решение:

  S = 650 тыс. рублей, сумма взятого кредита;
  % = 19% = 0,19;
  % = 16% = 0,16;
  \frac{1}{10}S – ежегодное снижение долга;
  Сумма выплат – ? тыс. рублей.

Год	Долг начальный	%	Платёж (\frac{1}{10}S + %)	Долг конечный (долг начальный + % – платёж)
2025	S	–	–	–
2026	S	0,19·S	\frac{1}{10}S+0,19·S	\frac{9}{10}S
2027	\frac{9}{10}S	0,19·\frac{9}{10}S	\frac{1}{10}S+0,19·\frac{9}{10}S	\frac{8}{10}S
2028	\frac{8}{10}S	0,19·\frac{8}{10}S	\frac{1}{10}S+0,19·\frac{8}{10}S	\frac{7}{10}S
2029	\frac{7}{10}S	0,19·\frac{7}{10}S	\frac{1}{10}S+0,19·\frac{7}{10}S	\frac{6}{10}S
2030	\frac{6}{10}S	0,19·\frac{6}{10}S	\frac{1}{10}S+0,19·\frac{6}{10}S	\frac{5}{10}S
2031	\frac{5}{10}S	0,16·\frac{5}{10}S	\frac{1}{10}S+0,16·\frac{5}{10}S	\frac{4}{10}S
2032	\frac{4}{10}S	0,16·\frac{4}{10}S	\frac{1}{10}S+0,16·\frac{4}{10}S	\frac{3}{10}S
2033	\frac{3}{10}S	0,16·\frac{3}{10}S	\frac{1}{10}S+0,16·\frac{3}{10}S	\frac{2}{10}S
2034	\frac{2}{10}S	0,16·\frac{2}{10}S	\frac{1}{10}S+0,16·\frac{2}{10}S	\frac{1}{10}S
2035	\frac{1}{10}S	0,16·\frac{1}{10}S	\frac{1}{10}S+0,16·\frac{1}{10}S	0

    Складываем все платежи и упрощаем выражение:

\frac{1}{10}S+0,19·S+\frac{1}{10}S+0,19·\frac{9}{10}S+\frac{1}{10}S+0,19·\frac{8}{10}S+\frac{1}{10}S+0,19·\frac{7}{10}S+\frac{1}{10}S+0,19·\frac{6}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{5}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{4}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{3}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{2}{10}S+\frac{1}{10}S+0,16·\frac{1}{10}S = S + 0,19·S·(1+\frac{9}{10}+\frac{8}{10}+\frac{7}{10}+\frac{6}{10}) + 0,16·S·(\frac{5}{10}+\frac{4}{10}+\frac{3}{10}+\frac{2}{10}+\frac{1}{10}) = S + 0,19·S·\frac{40}{10} + 0,16·S·\frac{15}{10} = S + 0,19·S·4 + 0,16·S·1,5 = S + 0,76·S + 0,24·S = 2·S

    Подставим сумму взятого кредита:

2·S = 2·650 тыс. рублей = 1300 тыс. рублей

Ответ: 1300 тыс. рублей.